Question

【題目】通過學習絕對值,我們知道的幾何意義是數軸上表示數在數軸上的對應點與原點的距離,如：表示在數軸上的對應點到原點的距離.,即表示、在數軸上對應的兩點之間的距離,類似的,，即表示、在數軸上對應的兩點之間的距離；一般地，點，在數軸上分別表示數、，那么，之間的距離可表示為.

請根據絕對值的幾何意義并結合數軸解答下列問題：

（1）數軸上表示和的兩點之間的距離是___；數軸上、兩點的距離為，點表示的數是，則點表示的數是___.

（2）點，，在數軸上分別表示數、、,那么到點.點的距離之和可表示為_ (用含絕對值的式子表示)；若到點.點的距離之和有最小值，則的取值范圍是_ __.

（3）的最小值為_ __.

Answer 1

【答案】（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3

【解析】

（1）根據數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|．代入數值運用絕對值即可求任意兩點間的距離．
（2）根據數軸上兩點之間的距離公式可求A到B的距離與A到C的距離之和；滿足|x-3|+|x+2|=7的x的值，分三種情形討論，轉化為方程解決問題；

（3）當1≤x≤4時，|x-1|+|x-4|有最小值為|4-1|=3．

解：（1）數軸上表示2和4的兩點之間的距離是4-2=2；
數軸上P、Q兩點的距離為3，點P表示的數是4，則點Q表示的數是4-3=1或4+3=7；

（2）A到B的距離與A到C的距離之和，可表示為|x+1|+|x-2|，
∵|x-3|+|x+2|=7，當x＜-1時，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x無最小值，
當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，
當x＞2時，x+1+x-2=2x-1＞3，
故若A到點B、點C的距離之和有最小值，則x的取值范圍是-1≤x≤2；

（3）原式=|x-1|+|x-4|．
當1≤x≤4時，|x-1|+|x-4|有最小值為|4-1|=3

故答案為：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3