Question

【題目】如圖，∠AOB＝60°，點M，N分別是射線OA，OB上的動點，OP平分∠AOB，OP＝8，當△PMN周長取最小值時，△OMN的面積為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點M、N在CD上時，△PMN的周長最小，然后根據菱形的面積公式即可得到結論．

解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PC、PD．

∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，

∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA＝30°；

∵點P關于OB的對稱點為D，

∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝120°，∠COP=∠COP=60°，

∴△COP與△POD是等邊三角形，

∴四邊形OCPD是菱形，

∴CD垂直平分OP，

∴∠PCD＝∠PDC＝30°，OM＝PM，PN＝ON，∵∠PCM＝∠MPC＝30°，

∴∠PMN＝60°，

同理∠PNM＝60°，

∴PM＝PN，

∴四邊形PMON是菱形，

∵OP＝8，

∴MN＝，

∴△OMN的面積＝S菱形PMON＝××8×＝．