Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PA、PC與⊙O分別相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E．

(1)求證：∠EPD=∠EDO；

(2)若PC=3，tan∠PDA=，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由切線的性質即可得證.（2）連接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=2,進而求得OC=，再證明△OED∽△DEP，根據相似三角形的性質和勾股定理即可求出OE的長.

（1）證明：∵PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，
∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，

∵DE⊥PO，
∴∠PAO=∠E=90°，

∵∠AOP=∠EOD，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO.

（2）連接OC，
∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，

AD=4，PD==5，
∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，

OC=，

OD==，

∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，
∴△OED∽△DEP，
∴===2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2==，
∴OE=．