Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果點M以3厘米/秒的速度運動．

（1）如果點M在線段CB上由點C向點B運動，點N在線段BA上由B點向A點運動．它們同時出發，若點N的運動速度與點M的運動速度相等．

①經過2秒后，△BMN和△CDM是否全等？請說明理由．

②當兩點的運動時間為多少時，△BMN是一個直角三角形？

（2）若點N的運動速度與點M的運動速度不相等，點N從點B出發，點M以原來的運動速度從點C同時出發，都順時針沿△ABC三邊運動，經過25秒點M與點N第一次相遇，則點N的運動速度是　 　厘米/秒．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）①△BMN≌△CDM．理由見解析；②當t=秒或t=秒時，△BMN是直角三角形；（2）3.8或2.6．

【解析】試題分析：①根據題意得CM=BN=6CM，所以BM=4CM=CD．根據“SAS”證明△BMN≌△CDM；

②設運動時間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運用特殊三角形的性質求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；

（2）點M與點N第一次相遇，有兩種可能：I．點M運動速度快；Ⅱ．點N運動速度快．分別列方程求解．

試題解析：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：

∵VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，

∴CM=2×3=6（cm），

BN=2×3=6（cm），

BM=BC﹣CM=10﹣6=4（cm），

∴BN=CM，

∵CD=4（cm），

∴BM=CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

在△BMN和△CDM中，

BN=CM，∠B=∠C，BM=CD，

∴△BMN≌△CDM．（SAS）.

②設運動時間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：

Ⅰ．當∠NMB=90°時，

∵∠B=60°，

∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．

∴BN=2BM，

∴3t=2×（10﹣3t），

∴t=（秒）；

Ⅱ．當∠BNM=90°時，

∵∠B=60°，

∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°．

∴BM=2BN，

∴10﹣3t=2×3t，

∴t=（秒）．

∴當t=秒或t=秒時，△BMN是直角三角形；

（2）分兩種情況討論：

I．若點M運動速度快，則 3×25﹣10=25VN，解得 VN=2.6；

Ⅱ．若點N運動速度快，則 25VN﹣20=3×25，解得 VN=3.8．

故答案為 3.8或2.6．