Question

【題目】射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值 （單位：秒）

Answer 1

【答案】t=2或3≤t≤7或t=8。

【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°。

∵QN∥AC，AM=BM．∴N為BC中點。

∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°。

分為三種情況：①如圖1，當⊙P切AB于M′時，連接PM′，

則PM′=cm，∠PM′M=90°，

∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，

∴QP=4cm﹣2cm=2cm，

∵速度是每秒1cm，∴t=2。

②如圖2，當⊙P于AC切于A點時，連接PA，

則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm

∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm。

∵速度是每秒1cm，∴t=3。

當⊙P于AC切于C點時，連接P′C，

則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，

∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm。

∵速度是每秒1cm，∴t=7。

∴當3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切。

③如圖3，當⊙P切BC于N′時，連接PN′，

則PN′=cm，∠PM\N′N=90°，

∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm。

∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm。

∵速度是每秒1cm，∴t=8。

綜上所述，t可取的一切值為：t=2或3≤t≤7或t=8。