Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線PA是一次函數y=x＋m（m＞0）的圖象，直線PB是一次函數y=－3x＋n（n＞m）的圖象，點P是兩直線的交點，點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標軸的交點．
（1）用m、n分別表示點A、B、P的坐標及∠PAB的度數；
（2）若四邊形PQOB的面積是4，且CQ：AO=2：1，試求點P的坐標，并求出直線PA與PB的函數表達式；
（3）在（2）的條件下，是否存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（-m，0），B（，0）．P（，），∠PAB=45°
（2）PA的函數表達式為y=x+2，PB的函數表達式為y=-3x+6．
（3）存在．D₁(5，3)、D₂(?3,3)、D₃(?1，-3)．

試題分析：（1）在直線y=x+m中，令y=0，得x=-m．
∴點A（-m，0）．
在直線y=-3x+n中，令y=0，得x＝
∴點B（，0）．
由，得，
∴點P（，）
在直線y=x+m中，令x=0，得y=m，
∴|-m|=|m|，即有AO=QO．
又∠AOQ=90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB=45°．

（2）∵CQ：AO=2：1，
∴（n-m）：m=2：1，
整理得n =3m，
∴=
而S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ=（+m）·-m²=m²=4，
解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，
∴n="3m" =6，
∴P（1，3）．
∴PA的函數表達式為y=x+2，
PB的函數表達式為y=-3x+6．

（3）存在．
過點P作直線PM平行于x軸，過點B作AP的平行線交PM于點D₁，過點A作BP的平行線交PM于點D₂，過點A、B分別作BP、AP的平行線交于點D₃．
①∵PD₁∥AB且BD₁∥AP，
∴PABD₁是平行四邊形．此時PD₁=AB，易得D₁(5，3)；
②∵PD₂∥AB且AD₂∥BP，
∴PBAD₂是平行四邊形．此時PD₂=AB，易得D₂(?3,3)；
③∵BD₃∥AP且AD₃∥BP，此時BPAD₃是平行四邊形．
∵BD₃∥AP且B（2，O），∴D₃(?1，-3)．