Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過點D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點E，連接CE．

（1）說明：AE＝CE＝BE；

（2）若AB＝15cm，P是直線DE上的一點．則當P在何處時，PB+PC最小，并求出此時PB+PC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點P在E處時，PB+PC＝15cm．

【解析】

（1）根據等邊三角形“三合一”的性質證得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE＝CE，根據等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余的性質以及等量代換求得∠BCE＝∠B；最后根據等角對等邊證得CE＝BE，所以AE＝CE＝BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC＝PA；由等量代換知PB+PC＝PB+PA；根據兩點之間線段最短可知，當點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最小．

（1）在等邊三角形ADC中，∵DF⊥AC，∴DF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE（等邊對等角）；

∵∠ACB＝90°（已知），∴∠ACE+∠BCE＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝BE（等角對等邊），∴AE＝CE＝BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，∴PC＝PA，∴PB+PC＝PB+PA；

∴當PB+PC最小時，也就是PB+PA最小，即點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最小．

當點P在E處時，PB+PC＝EB+EC＝EB+EA＝AB＝15cm．