Question

把1，2，…，2 008個正整數分成1 004組:a₁，b₁;a₂，b₂;…;a_{1 004}，b_{1 004}，且滿足a₁+b₁=a₂+b₂=…=a₁₀₀₄+b₁₀₀₄.對于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a_ib_i的最大值為       .

Answer 1

1 009 020

解：
注意到a_ib_i=[(a_i+b_i)²-(a_i-b_i)²]，
a_i+b_i="(1+2" 008)×1 004/1 004="2" 009.
要使a_ib_i的值最大，須a_i-b_i的值最小，而a_i-b_i的最小值為1，此時a_i+b_i="2" 009，a_i-b_i=1.于是，a_i="1" 005，b_i="1" 004，此時，a_ib_i的最大值為1 005×1 004="1" 009 020.