Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點O為坐標原點，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，1），點C為邊AB的中點，正方形OBDE的頂點E在x軸的正半軸上，連接CO，CD，CE．

（1）線段OC的長為 ；

（2）求證：△CBD≌△COE；

（3）將正方形OBDE沿x軸正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中點O，B，D，E的對應點分別為點O1，B1，D1，E1，連接CD，CE，設點E的坐標為（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面積為S．

①當1＜a＜2時，請直接寫出S與a之間的函數表達式；

②在平移過程中，當S=時，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）①S=﹣a+1；②當S=時，a=或．

【解析】

試題分析：（1）由點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，1），根據勾股定理求得AB的長，再由點C為邊AB的中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得線段OC的長；（2）由四邊形OBDE是正方形，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可證得：△CBD≌△COE；（3）①首先根據題意畫出圖形，然后過點C作CH⊥D1E1于點H，可求得△CD1E1的高與底，繼而求得答案；

②分別從1＜a＜2與a＞2去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）∵點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，1），

∴OA=4，OB=1，

∵∠AOB=90°，

∴AB=，

∵點C為邊AB的中點，

∴OC=AB=；

（2）證明：∵∠AOB=90°，點C是AB的中點，

∴OC=BC=AB，

∴∠CBO=∠COB，

∵四邊形OBDE是正方形，

∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，

∴∠CBD=∠COE，

在△CBD和△COE中，

，

∴△CBD≌△COE（SAS）；

（3）①解：過點C作CH⊥D1E1于點H，

∵C是AB邊的中點，

∴點C的坐標為：（2，）

∵點E的坐標為（a，0），1＜a＜2，

∴CH=2﹣a，

∴S=D1E1CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；

②當1＜a＜2時，S=﹣a+1=，

解得：a=；

當a＞2時，同理：CH=a﹣2，

∴S=D1E1CH=×1（a﹣2）=a﹣1，

∴S=a﹣1=，

解得：a=，

綜上可得：當S=時，a=或．