Question

（2009•同安區模擬）已知，如圖，AB、CD相交于點O，AC∥DB，AO=BO，E、F分別是OC、OD中點．
（1）求證：OC=OD；
（2）若∠DBE=90°，BD=3，BE=4，求四邊形AFBE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CAB=∠ABD，再利用角邊角定理證明△AOC與△BOD全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）先根據直角三角形的面積公式求出△DBE的面積，再根據點E、F分別是OC、OD的中點，可得FD=OF=OE=CE，然后根據等底等高的三角形的面積相等可以求出一個三角形的面積，然后證明四邊形AEBF是平行四邊形，并求出其面積即可．

解答：（1）證明：∵AC∥DB，
∴∠CAB=∠ABD，
在△AOC與△BOD中，

∠CAB=∠ABD AO=BO ∠AOC=∠BOD

，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC=OD；

（2）解：∵∠DBE=90°，BD=3，BE=4，
∴S_△BDE=

1

2

BD•BE=

1

2

×3×4=6，
∵E、F分別是OC、OD中點，
∴FD=OF=OE=CE，
∴S_△BOF=

1

3

S_△BDE=

1

3

×6=2，
∵AO=BO，CO=DO，
∴四邊形AFBE是平行四邊形，
∴四邊形AFBE的面積=2×4=8．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等底等高的三角形的面積相等的性質，以及平行四邊形的判定與性質，是綜合題，但難度不大，只要仔細分析便不難求解．