Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A在x正半軸，以點A為圓心作⊙A，點M（4，4）在⊙A上，直線y=﹣x+b與圓相切于點M，分別交x軸、y軸于B、C兩點．

（1）直接寫出b的值和點B的坐標；

（2）求點A的坐標和圓的半徑；

（3）若EF切⊙A于點F分別交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+7；B（，0）（2）圓A的半徑為5（3）3

【解析】試題分析：（1）將點M的坐標代入直線的解析式可求得b的值，由b的值可得到直線的解析式，然后令y=0可求得點B的橫坐標，于是得到點B的坐標；
（2）由相互垂直的兩條直線的一次項系數為-1，可設直線AM的解析式為

然后將點M的坐標代入可求得c的值，然后令y=0可求得點A的橫坐標，最后依據兩點間的距離公式可求得圓A的半徑．
（3）如圖1所示：連接AF、AM．先證明四邊形AFEM為正方形，于是可求得ME=5，然后在△ABM中依據勾股定理可求得MB的長，從而可求得BE的長，接下來，證明由相似三角形的性質可求得答案．

試題解析：

(1)∵點M在直線上，

解得：b=7.

∴直線的解析式為

∵當y=0時, ,解得：

(2)∵BC是圓A的切線，

∴AM⊥BC.

設直線AM的解析式為

∵將M(4,4)代入得解得：

∴直線AM的解析式為

∵當y=0時, 解得x=1，

∴A(1,0).

∵由兩點間的距離公式可知

∴圓A的半徑為5.

(3)如圖1所示：連接AF、AM.

∵BC、EF是圓A的切線，

∴AM⊥BC，AF⊥EF.

又∵BC⊥EF，

∴四邊形AFEM為矩形，

又∵AM=AF，

∴四邊形AFEM為正方形，

∴ME=AF=5.

∵在Rt△AMB中,

∴△AGF∽△BGE.

即