Question

問題背景：
如圖（a），點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，則點C即為所求．

（1）實踐運用：
如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為______．
（2）知識拓展：
如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

Answer 1

（1）作點B關于CD的對稱點E，連接AE交CD于點P，
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC′，連接C′E．
根據垂徑定理得

BD

=

DE

．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE=

2

2

AC′=2

2

，
即AP+BP的最小值是2

2

．
故答案為：2

2

；

（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連結BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′=AB ∠B′AM=∠MAB AM=AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴點B與點B′關于直線AD對稱．
過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結BE，
則線段B′F的長即為所求．（點到直線的距離最短）
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×

2

2

=5

2

，
∴BE+EF的最小值為5

2

．