Question

【題目】如圖所示，BC是圓O的直徑，點A，F在圓O上，連接AB，BF．

（1）如圖1，若點A、F把半圓三等分，連接OA，OA與BF交于點E．求證：E為OA的中點；
（2）如圖2，若點A為弧 的中點，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，AD與BF交于點G．求證：AG=BG．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵A、F為半圓三等分點，

∴∠AOB= ×180°=60°，

∵OA=OB，

∴△OAB為等邊三角形．

∵A為弧BF中點，

∴OA⊥BF，

∴BE平分OA，

∴E為OA中點

（2）證明：連接AF，AC，

∵A為弧BF中點，

∴ = ，

∴∠ABF=∠F．

∵ = ，

∴∠C=∠F，

∴∠C=∠ABF．

∵BC為圓O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°．

∵AD⊥BC，

∴∠C+∠CAD=90°，

∴∠ABG=∠BAG，

∴AG=BG．

【解析】（1）先求出∠AOB的度數，故可判斷出△OAB為等邊三角形，再由A為弧BF中點可得出OA⊥BF，進而可得出結論；（2）連接AF，AC，根據弧相等可得出∠C=∠ABF，由圓周角定理可得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性質得出∠ABG=∠BAG，進而可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用圓心角、弧、弦的關系和圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可以解答此題．