Question

【題目】已知：正方形ABCD，E為平面內任意一點，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到DG，連接EC，AG．

（1）當點E在正方形ABCD內部時，

①根據題意，在圖1中補全圖形；

②判斷AG與CE的數量關系與位置關系并寫出證明思路．

（2）當點B，D，G在一條直線時，若AD＝4，DG＝，求CE的長．（可在備用圖中畫圖）

Answer 1

【答案】(1) ①見解析；②AG＝CE，AG⊥CE，理由見解析；（2）CE的長為或

【解析】

（1）①根據題意補全圖形即可；
②先判斷出∠GDA=∠EDC，進而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，延長CE分別交AG、AD于點F、H，判斷出∠AFH=∠HDC=90°即可得出結論；
（2）分兩種情況，①當點G在線段BD的延長線上時，②當點G在線段BD上時，構造直角三角形利用勾股定理即可得出結論．

解：（1）當點E在正方形ABCD內部時，

①依題意，補全圖形如圖1：

②AG=CE，AG⊥CE．
理由：
在正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵由DE繞著點D順時針旋轉90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，
∴∠GDA=∠EDC
在△AGD和△CED中，

，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．

如圖2,延長CE分別交AG、AD于點F、H，
∵△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°，
∴AG⊥CE．
（2）①當點G在線段BD的延長線上時，如圖3所示．
過G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=

∴MD=MG=2，
∴AM=AD+DM=6
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，

同（1）可證△AGD≌△CED，
∴CE=AG=
②當點G在線段BD上時，如圖4所示，
過G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=

∴MD=MG=2，
∴AM=AD-MD=2
在Rt△AMG中，由勾股定理得：AG==，

同（1）可證△AGD≌△CED，
∴CE=AG=．

故CE的長為或．