Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數C1：（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C.

(1)求點A和點C的坐標；

(2)當AB=4時，

①求二次函數C1的表達式；

②在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△DAC的周長最小，若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)將(2)中拋物線C1向上平移n個單位，得到拋物線C2，若當0≤x≤時，拋物線C2與x軸只有一個公共點，結合函數圖象，求出n的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)A(-1，0)；C(0，-3)；(2)①；② D(1，-2)；（3）≤n＜3或n=4.

【解析】

（1）解方程即可得到點A、B的坐標；在函數中，由x=0可得y=-3，由此可得點C的坐標；

（2）①由（1）中所得點A、B的坐標結合AB=4可得m的值，由此即可得到函數的解析式；②由題意可知，AC是定值，而A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，由此可知當點D為直線BC與拋物線的對稱軸的交點時，△ACD的周長最小，故由已知條件求得直線BC的解析式，再求出BC與對稱軸的交點的坐標即可；

（3）①由題意設平移后的拋物線C2的解析式為：，當平移后的拋物線過點（，0）和（0，0）時，由拋物線的對稱軸為直線x=1可得拋物線與x軸的另一個交點為（-0.5，0）和（1，0），由點（-0.5，0）不在的范圍內，點（1，0）在可求得n的一個符合題意的取值范圍； ②當平移后的拋物線的頂點在x軸上時，新拋物線與x軸也只有一個交點（1，0）在的范圍內，由此也可得到一個符合條件的n的值；綜合①②即可得到n的取值范圍.

(1)在二次函數中，當y=0時，可得方程：

，

解得：，

∵拋物線與x軸的交點A在點B的左側，且m>0，

∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（，0），

∵在中，當x=0時，y=-3，

∴點C的坐標為（0，-3）；

(2)①∵點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（，0），且m>0，

∴AB=+1，

又∵AB=4，

∴+1=4，解得m=1，

∴拋物線的解析式為：；

②如圖1，由m=1，可得點B的坐標為（3，0），

∵AC的長為定值，A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=1對稱，

∴當點D為直線BC與對稱軸x=1的交點時，AD+CD最小，此時△ACD的周長最小，

∵點B的坐標為(3，0)，點C的坐標為（0，-3），

∴直線BC的表達式為 y=x-3.

把x=1代入y=x-3得y=-2，

∴D(1，-2)；

(3)設拋物線C2的表達式為

①當拋物線C2經過點（，0）時，解得：n =，此時拋物線與x軸的另一個交點為（-0.5，0），該點不在范圍內；

當拋物線C2經過點（0，0）時，解得得n=3，此時拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），該點在的范圍內，

∴綜上可得：≤n＜3 ；

②當拋物線的頂點在x軸上時，拋物線C2與x軸只有一個公共點，此時有x=1，y=0，解得n=4；

綜合①②可得，n的取值范圍是≤n＜3或n=4.