Question

【題目】如圖，ABCD中，E為AD邊上一點，AE=AB，AF⊥AB，交線段BE于點F，G為AE上一點，AG：GE=1：5，連結GF并延長交邊BC于點H．若GE：BH=1：2，則tan∠GHB=

Answer 1

【答案】
【解析】

解；過F點作MN⊥BC，則MN⊥AD，設AG=a，
∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2，
∴EG=5a，BH=10a，AE=6a，
∵AE=AB，
∴AB=6a，∠AEB=∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴BE是∠ABE的平分線，
∵FA⊥AB，FM⊥BC，
∴FM=FA，
在RT△ABF與RT△MBF中

∴RT△ABF≌RT△MBF（HL），
∴BM=AB=6a，
∵∠AEB=∠EBC，∠EFG=∠BFH，
∴△EFG∽△BFH，
，
∵FA=FM，
∴FN：FA=1：2，
在RT△AFN中，∠EAF=30°，
∵∠FAB=90°，
∴∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠MBF=30°，
在RT△MBF中，FM=tan30°BM=×6a=2a，
∵BH=10a，BM=6a，
∴HM=BH﹣BM=4a，
∴tan∠GHB=．
根據相似三角形對應高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，進而求得∠DAB=120°，從而求得∠FBM=30°，根據正切定理求得FM，設GA=a，根據三角形相似求得BH=2EG=10a，根據三角形全等求得MB=AB=6a，從而求得HM=4a，在RT△FHM中根據正切定理即可求得