Question

【題目】已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點E，過點C作直線FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長線于點D．

（1）求證：FD是⊙O的切線；

（2）設OC與BE相交于點G，若OG=2，求⊙O半徑的長；

（3）在（2）的條件下，當OE=3時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證FD是⊙O的切線只要證明∠OCF=90°即可；

（2）根據已知證得△OEG∽△CBG根據相似比不難求得OC的長；

（3）根據S陰影=S△OCD﹣S扇形OBC從而求得陰影的面積．

證明：（1）連接OC（如圖①），

∵OA=OC，

∴∠1=∠A．

∵OE⊥AC，

∴∠A+∠AOE=90°．

∴∠1+∠AOE=90°．

∵∠FCA=∠AOE，

∴∠1+∠FCA=90°．

即∠OCF=90°．

∴FD是⊙O的切線．

（2）連接BC，（如圖②）

∵OE⊥AC，

∴AE=EC（垂徑定理）．

又∵AO=OB，

∴OE∥BC且．

∴∠OEG=∠GBC（兩直線平行，內錯角相等），

∠EOG=∠GCB（兩直線平行，內錯角相等），

∴△OEG∽△CBG（AA）．

∴．

∵OG=2，

∴CG=4．

∴OC=OG+GC=2+4=6．

即⊙O半徑是6．

（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6，

∵OB=OC=6，

∴△OBC是等邊三角形．

∴∠COB=60°．

∵在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=6，

∴S陰影=S△OCD﹣S扇形OBC==．