Question

【題目】閱讀材料：
材料1、若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1 ， x2 ， 則x1+x2= ， x1x2= ．
材料2、已知實數m、n滿足m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0，且m≠n，求的值．
解：由題知m、n是方程x2﹣x﹣1=0的兩個不相等的實數根，根據材料1得
m+n=1，mn=﹣1
∴=
根據上述材料解決下面問題：
（1）一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根為x1、x2 ， 則x1+x2= ， x1x2= ．
（2）已知實數m、n滿足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知實數p、q滿足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．

Answer 1

【答案】解：（1）x1+x2=﹣ ， x1x2=﹣；
故答案為﹣ ， ﹣；
（2）∵m、n滿足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，
∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的兩實數解，
∴m+n=1，mn=﹣ ，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣；
（3）設t=2q，代入2q2=3q+1化簡為t2=3t+2，
則p與t（即2q）為方程x2﹣3x﹣2=0的兩實數解，
∴p+2q=3，p2q=﹣2，
∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p2q=32﹣2×（﹣2）=13．
【解析】（1）直接根據根與系數的關系求解；
（2）利用m、n滿足的等式，可把m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到m+n=1，mn=﹣ ， 接著把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整體代入的方法計算；
（3）先設t=2q，代入2q2=3q+1化簡得到t2=3t+2，根據p與t滿足的等式可把p與t（即2q）為方程x2﹣3x﹣2=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到p+2q=3，p2q=﹣2，接著利用完全平方公式變形得到p2+4q2=（p+2q）2﹣2p2q，然后利用整體代入的方法計算．
【考點精析】掌握根與系數的關系是解答本題的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．