Question

【題目】如圖所示，梯形AOCD中，AD=9，OC=10，AO=4，在線段OC上任取一點(diǎn)N（不與O，C重合），連接DN，作NE⊥DN，交AO于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)CN=2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）若CN=x，OE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

（3）探索與研究：若點(diǎn)M從O點(diǎn)沿OC方向、N點(diǎn)從C點(diǎn)沿CO方向同時(shí)等速運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)有一點(diǎn)F，滿足MF⊥MN，NF⊥ND．

①猜想F點(diǎn)在什么線上運(yùn)動(dòng)？并求出這條線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

②求出F點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）；（2）①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y=；②當(dāng)x＞1時(shí)，y=；（3）①y=﹣x2+3x﹣（0＜x＜10）；②最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，2）．

【解析】試題分析：

試題解析：(1)如圖所示，作DF⊥OC于F，

由題意知，CN=2，AD=9，OC=10.

∵AOCD是梯形且

∴OF=AD=9，CF=OCOF=1，NF=CNCF=1，DF=OA=4.

∴在Rt△DFN中,

又∵NE⊥DN,

∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4.

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2)；

(2)如圖所示：

①當(dāng)0<t<1時(shí)由(1)知CF=1,所以此時(shí)N點(diǎn)在F點(diǎn)右側(cè),E點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，

∵∠DNF=∠OEN，

整理得：

②當(dāng)t>1時(shí)，如圖所示N點(diǎn)在F點(diǎn)左側(cè)，E點(diǎn)則在y軸正半軸，

即

(3)①如圖所示：由圖知點(diǎn)F在第四象限，

∵MF⊥MN,NF⊥ND,點(diǎn)F(x,y),M點(diǎn)、N點(diǎn)同時(shí)等速運(yùn)動(dòng),

∴CN=OM=x.

又

∴∠MFN=∠DNM，

即：

y<0，

②

故最高點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,2).