Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，P、Q分別是邊AB、BC上的兩個動點，P、Q同時分別從A、B出發，點P沿AB向B運動；點Q沿BC向C運動，速度都是1個單位長度/秒．運動時間為t秒．

（1）連結AQ、DP相交于點F，求證：AQ⊥DP；
（2）當正方形邊長為4，而t=3時，求tan∠QDF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在正方形ABCD中，

∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，

由題意得：AP=BQ，

在△ADP與△ABQ中， ，

∴△ADP≌△ABQ，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵∠PAF+∠DAF=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠AFD=90°，

∴AQ⊥DP

（2）解：∵正方形邊長為4，而t=3時，

∴AD=AB=4，AP=BQ=3，

∴PD=AQ=5，

∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，

∴△APF∽△ADP，

∴ ，

∴PF= ，

∴DF= ，

∵∠AFP=∠AFD=90°，

∴△APF∽△ADF，

∴ ，

∴AF= ，

∴FQ= ，

∴tan∠QDF= =

【解析】（1）根據正方形的性質得到AB=AD，∠BAD=∠B=90°，推出△ADP≌△ABQ，由全等三角形的性質得到∠BAQ=∠ADP，根據余角的性質即可得到結論；（2）根據勾股定理得到PD=AQ=5，推出△APF∽△ADP，根據相似三角形的性質得到 ，求得PF= ，得到DF= ，同理得到AF= ，求得FQ= ，根據三角函數的定義即可得到結論．
【考點精析】掌握正方形的性質和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．