Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動點M從點A出發沿邊AD向點D運動（點M與點A、點D不重合）．

（1）如圖1，當b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當a=2，b=5，求點M運動到什么位置時，∠BMC=90°；

（3）如圖3，在第（2）問的條件下，若另一動點N從點C出發沿邊C→M→B運動，且點M、點N的出發時間與運動速度都相同，過點N作AD和垂線交AD于點H，當△MNH與△MBC相似時，求MH的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）AM=1或4時，∠BMC=90°；（3）△MNH與△MBC相似時，MH=8﹣或﹣2．

【解析】

試題分析：（1）由b=2a，點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°；（2）根據已知條件得到∠AMB+∠DMC=90°，根據余角的性質得到∠ABM=∠DMC，根據相似三角形的性質得到，代入數據即可得到結論．（3）①當點N在CM上時，由△MNH與△MBC相似，得到∠BMC=∠MHN=90°，當AM=CN=1時，根據相似三角形的性質列方程求得結論；當AM=CN=4時，DM=1，CM=＜4，這種情況不存在；②當點N在BM上時，當AM=CN=1時，同理這種情況不存在；當AM=CN=4時，即CM+MN=4，根據相似三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵b=2a，點M是AD的中點，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）解：若∠BMC=90°，

則∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴，

設AM=x，則，

∴x=1或4，

∴AM=1或4時，∠BMC=90°；

（3）解：①當點N在CM上時，

∵△MNH與△MBC相似，

∴∠BMC=∠MHN=90°，

當AM=CN=1時，

∴DM=4，∴CM=2，

∴MN=2﹣1，

∵NH⊥AD，∠D=90°，

∴NH∥CD，

∴，

∴，

∴MH=8﹣；

當AM=CN=4時，

DM=1，CM=＜4，

∴這種情況不存在；

②當點N在BM上時，

當AM=CN=1時，同理這種情況不存在；

當AM=CN=4時，即CM+MN=4，

∵CM=，

∴MN=4﹣，BM=2，

∵HN∥AB，

∴△MHN∽ABM，

∴，即，

∴MH=﹣2．

綜上所述：△MNH與△MBC相似時，MH=8﹣或﹣2．