Question

如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F．求證：BF=2CF．

Answer 1

分析：利用輔助線，連接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根據AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度數，由直角三角形的性質即可求出BF=2AF=2CF．

解答：證明：連接AF，（1分）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=

180°-120°

2

=30°，（1分）
∵AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F，
∴CF=AF（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等邊對等角），（2分）
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），（1分）
∴BF=2CF（等量代換）．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關知識，難度一般．