Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，M為斜邊AB上一點，且MB=MC=AC=8cm，平行于BC的直線l從BC的位置出發以每秒1cm的速度向上平移，運動到經過點M時停止. 直線l分別交線段MB、MC、AC于點D、E、P，以DE為邊向下作等邊△DEF，設△DEF與△MBC重疊部分的面積為S（cm2），直線l的運動時間為t（秒）．

（1）求邊BC的長度；

（2）求S與t的函數關系式；

（3）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得以P、C、F為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得以點D為圓心、BD為半徑的圓與直線EF相切？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 8；（2） 當0＜t≤3時，S=﹣t2+8t;當3＜t≤4時，S= 3t2﹣24t+48．（3） t=（4） t=．

【解析】

試題分析：（1）利用直角三角形的性質和銳角三角函數即可；

（2）分兩段求出函數關系即可；

（3）進行分類討論即可求出t的值；

（4）若相切，利用點到圓心的距離等于半徑列出方程即可.

試題解析：（1）∵M為斜邊中點，

∴∠B=MCB=α，

∴∠AMC=2α，

∵MC=MA，

∴∠A=∠AMC=2α，

∴∠B+∠A=90°，

∴α+2α=90°，

∴α=30°，

∴∠B=30°，

∵cotB=，

∴BC=AC×cotB=8；

（2）由題意，若點F恰好落在BC上，

∴MF=4（4﹣t）=4，

∴t=3．

當0＜t≤3時，如圖，

∴BD=2t，DM=8﹣2t，

∵l∥BC，

∴，

∴，

∴DE=（8﹣2t）．

∴點D到EF的距離為FJ=DE=3（4﹣t），

∵l∥BC，

∴，

∵FN=FJ﹣JN=3（4﹣t）﹣t=12﹣4t，

∴HG=（3﹣t）

S=S梯形DHGE=（HG+DE）×FN=﹣t2+8t

當3＜t≤4時，重疊部分就是△DEF，

S=S△DEF=DE2=3t2﹣24t+48．

（3）當0＜t≤3時，∠FCP≥90°，

∴FC＞CP，

∴△PCF不可能為等腰三角形

當3＜t≤4時，若△PCF為等腰三角形，

∴只能FC=FP，

∴=3（4﹣t），

∴t=

（4）若相切，

∵∠B=30°，

∴BD=2t，DM=8﹣2t，

∵l∥BC，

∴，

∴，

∴DE=（8﹣2t）．

∴點D到EF的距離為DE=3（4﹣t）

∴2t=3（4﹣t），

解得t=．