Question

【題目】如圖，是的外接圓的直徑，點P在BC延長線上，且滿足.

(1)求證：PA是的切線；

（2）弦交于點F，若,求AC的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.

【解析】

（1）根據AD是⊙O的直徑，由此可推導得出∠CAD+∠D=90°，再根據∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，繼而可得∠PAD=90°，從而可推得PA是⊙O的切線；

(2)證明ΔABC∽ΔACF，根據相似三角形對應邊成比例即可求得AC的長.

（1）∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，∴∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切線；

(2)∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAD=90°，

∵∠CAD+∠D=90°，∴∠D=∠ACF，

∴∠B=∠ACF，

∵∠BAC=∠CAF，

∴ΔABC∽ΔACF，

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