Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E. F.

(1)求證：△OEF是等腰直角三角形。

(2)若AE=4，CF=3，求EF的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5.

【解析】

（1）根據正方形的性質可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再根據同角的余角相等求出∠EOB=∠FOC，然后利用“角邊角”證明△BEO和△CFO全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OF，從而得證；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得BE=CF，再根據正方形的四條邊都相等求出AE=BF，再利用勾股定理列式進行計算即可得解．

(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABO=∠ACF=45,OB=OC,∠BOC=90，

∴∠FOC+∠BOF=90，

又∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90，

∴∠EOB+∠BOF=90，

∴∠EOB=∠FOC，

在△BEO和△CFO中,

，

∴△BEO≌△CFO(ASA)，

∴OE=OF，

又∵∠EOF=90，

∴△DEF是等腰直角三角形；

(2)解∵△BEO≌△CFO(已證)，

∴BE=CF=3，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∴ABBE=BCCF，

即AE=BF=4，

在Rt△BEF中,EF= = =5.