Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，函數y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB=OC，OC=3OA．

（1）求這個二次函數的表達式；
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B的坐標為（3，0），OB=OC，

∴點C的坐標為（0，﹣3），

又∵OC=3OA，

∴OA=1，

∴點A的坐標為（﹣1，0），

將A、B、C三點坐標代入可得： ，

解得： ，

故這個二次函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：在該拋物線上存在點F（2，﹣3），使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

理由：由（1）得D（1，﹣4），則直線CD的解析式為：y=﹣x﹣3，

故E點的坐標為（﹣3，0），

∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴F點的坐標為（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），

代入拋物線的表達式檢驗，只有（2，﹣3）符合．

∴拋物線上存在點F（2，﹣3），使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形

（3）

解：①如圖，當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），

則N（R+1，R），代入拋物線的表達式，解得R= ，

其中R= （不合題意，舍去），

∴R= ．

②如圖，當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），

則N（r+1，﹣r），

代入拋物線的表達式，解得：r= ，

其中r= （不合題意，舍去），

∴r= ．

綜合①②得：圓的半徑為 或 ．

【解析】（1）分別確定A、B、C的坐標，利用待定系數法可得二次函數的表達式；（2）根據A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，可得點F的可能坐標，再由點F在拋物線上，可最終確定；（3）分兩種情況討論，①MN在x軸上，②MN在x軸下，表示出N的坐標，代入拋物線解析式可得半斤的長度．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．