Question

【題目】如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長線上一點，DC為半圓O的切線，切點為C．
（1）求證：∠ACD=∠B；
（2）如圖2，∠BDC的平分線分別交AC，BC于點E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中 ，連接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵CD是⊙O切線，

∴OC⊥CD，

∴∠DCO=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∵AB是直徑，

∴∠1+∠B=90°，

∴∠3=∠B

（2）

解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，

∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，

∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴tan∠CFE=tan45°=1．

②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，

∴AB= =5，

∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，

∴△DCA∽△DBC，

∴ = = ，設DC=3k，DB=4k，

∵CD2=DADB，

∴9k2=（4k﹣5）4k，

∴k= ，

∴CD= ，DB= ，

∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，

∴△DCE∽△DBF，

∴ ，設EC=CF=x，

∴ ，

∴x= ．

∴CE=

【解析】（1）利用等角的余角相等即可證明．
　　　�。�2）①只要證明∠CEF=∠CFE即可．②由△DCA∽△DBC，得 = = = ，設DC=3k，DB=4k，由CD2=DADB，得9k2=（4k﹣5）4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得 = ，設EC=CF=x，列出方程即可解決問題．本題考查切線的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．