Question

【題目】已知拋物線經過原點O及點A和點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，設拋物線的對稱軸與x軸交于點C，將直線沿y軸向下平移n個單位后得到直線l，若直線l經過B點，與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點E．若P是拋物線上一點，且PB=PE，求點P的坐標；

（3）如圖2，將拋物線向上平移9個單位得到新拋物線，直接寫出下列兩個問題的答案：

①直線至少向上平移多少個單位才能與新拋物線有交點？

②新拋物線上的動點Q到直線的最短距離是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為或；（3）①8；②.

【解析】試題分析：（1）首先由拋物線y=ax2+bx+c經過原點O，得出c=0，那么拋物線的解析式為y=ax2+bx，再把點A（4，0）和點B（-2，3）代入y=ax2+bx，得到關于a、b的方程組，解方程組即可；
（2）先由“上加下減”的平移規律得出直線l的解析式為y=-2x-n，將點B（-2，3）代入，求出n=1，那么直線l的解析式為y=-2x-1，D（0，-1）．再求出C（2，0），E（2，-5），得到點D（0，-1）是線段BE的中點．由CE=CB=5，PB=PE，得出點P是直線CD與該拋物線的交點．再用待定系數法求出CD的解析式為y=x-1，將它與拋物線的解析式聯立得到方程組，解方程組即可求出點P的坐標；
（3）由“上加下減”的平移規律得出新拋物線的解析式為y=x2-x+9．
①設直線y=-2x向上平移t個單位能與新拋物線有交點，將y=-2x+t代入y=x2-x+9，得x2+x+9-t=0，由△=12-4×（9-t）≥0，求出t≥8，那么t的最小值即為所求；
②先求出新拋物線與直線y=-2x+8的交點坐標，根據題意得出點Q的坐標，到直線y=-2x的距離最短．過點Q作QR⊥直線y=-2x于點R，則RQ為所求．

試題解析：（1）依題意得 解得： ， ．

∴拋物線的解析式為．

（2）設直線l的解析式為，∵直線l過點B，∴．

∴直線l的解析式為，∴D．

∵拋物線的對稱軸為，∴C，E．

∴點D是線段BE的中點．

又∵CE=CB=5，∴CD垂直平分BE．

∵PB=PE，∴點P是拋物線與直線CD的交點．

易求CD的解析式為，

由解得

∴點P的坐標為或．

（3）①直線至少向上平移8個單位才能與新拋物線有交點；

②新拋物線上的動點Q到直線的最短距離是 .