Question

【題目】已知到直線l的距離等于a的所有點的集合是與直線l平行且距離為a的兩條直線l1、l2（如圖①）．

（1）在圖②的平面直角坐標系中，畫出到直線y=x＋2的距離為1的所有點的集合的圖形．并寫出該圖形與y軸交點的坐標．

（2）試探討在以坐標原點O為圓心，r為半徑的圓上，到直線y= x ＋ 2的距離為1的點的個數與r的關系．

（3）如圖③，若以坐標原點O為圓心，2為半徑的圓上只有兩個點到直線y= x ＋ b的距離為1，則b的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析，（0，）和（0，3）；（2）當0＜r＜1時，0個；當r=1時，1個；當1＜r＜3時，2個；當r=3時，3個；當3＜r時，4個．（3）-3＜b＜-或＜b＜3．

【解析】

試題分析：（1）易證△AOB是等腰直角三角形，兩直線之間的距離是1，則過B作l1的垂線，垂線段長是1，利用勾股定理求得BD的長，即可求得D的坐標，同理求得E的坐標；

（2）求出O到直線的距離，據此即可作出判斷；

（3）首選求得到原點距離是1和3時直線對應的b的值，則b的范圍即可求得．

試題解析：（1）如圖，

y=x+2中令x=0時y=2，則B的坐標是（0，2），

令y=0，0=x+2，解得：x=-2，則A的坐標是（-2，0）．

則OA=OB=2，即△ABC是等腰直角三角形，

過B作BC⊥l1于點C，則BC=1．

則△BCD是等腰直角三角形，BC=CD=1，

則BD=，即D的坐標是（0，3），

同理，E的坐標是（0，）．

則與y軸交點的坐標為（0，）和（0，3）；

（2）在等腰直角△AOB中，AB==．

過O作OF⊥AB于點F．則OF=AB=1．

當0＜r＜1時，0個；

當r=1時，1個；

當1＜r＜3時，2個；

當 r=3時，3個；

當3＜r時，4個．

（3）OM是第一、三象限的角平分線，

當OM=2-1=1時，則l3與y軸的交點G，G的坐標是（0，），即b=，

同理當ON=3時，b=3，

當直線在原點O下方時，b=-和b=-3．

則當-3＜b＜-或＜b＜3時，2為半徑的圓上只有兩個點到直線y=x+b的距離為1．