Question

【題目】如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm／s。

⑴連接AQ、CP交于點M，在點P、Q運動的過程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，請直接寫出它的度數；

⑵點P、Q在運動過程中，設運動時間為t，當t為何值時，△PBQ為直角三角形？

⑶如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ的大小變化嗎？則說明理由；若不變，請求出它的度數。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）因為點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質定理及三角形的角間關系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數；

（2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t．分別就①當∠PQB=90°時；②當∠BPQ=90°時利用直角三角形的性質定理求得t的值；

（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質定理得到∠BPC=∠MQC．再運用三角形角間的關系求得∠CMQ的度數．

試題解析：（1）∠CMQ不變．

AC="BA," ∠A=∠B, AP="BQ,"

∴△ACP≌△BAQ, ∴∠ACP=∠BAQ,

∴∠CMQ=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．

∴∠CMQ恒等于60°，不發生變化．

（2）設運動了t秒

當△PBQ為Rt三角形時 ∠B="60°"

①當∠BPQ=30°時 ∴PB="AB-BP=4-t=2BQ=2t" 解得t=

②當∠PQB=30°時 則BQ=t=2PB=2（AB-AP）=2（4-t） 解得t=

（3）∠CMQ不變．

∵AC=CB,∠ACQ=120°=∠CBP, CQ="BP,"

∴△ACQ≌△CBP, ∴∠CAQ=∠BCP,

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACM=∠BCP+∠ACM=∠MCQ+∠ACM=∠ACQ=120°．

∴∠CMQ恒等于120°，不會發生變化．