Question

【題目】在直角坐標系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），將△ABO經過旋轉、平移變化后得到如圖1所示的△BCD．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）連結AC，點P是位于線段BC上方的拋物線上一動點，若直線PC將△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時點P的坐標；
（3）現將△ABO、△BCD分別向下、向左以1：2的速度同時平移，求出在此運動過程中△ABO與△BCD重疊部分面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（0，2）、B（﹣1，0），將△ABO經過旋轉、平移變化得到△BCD，

∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°．

∴C（1，1）．

設經過A、B、C三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

則有 ，

∴

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如圖1所示，

設直線PC與AB交于點E．

∵直線PC將△ABC的面積分成1：3兩部分，

∴ = 或 =3，

過E作EF⊥OB于點F，則EF∥OA．

∴△BEF∽△BAO，

∴ ．

∴當 = 時， ，

∴EF= ，BF= ，

∴E（﹣ ， ）

∴直線PC解析式為y=﹣ x+ ，

∴﹣ x2+ x+2=﹣ x+ ，

∴x1=﹣ ，x2=1（舍去），

∴P（﹣ ， ），

當 時，同理可得，P（﹣ ， ）

（3）

解：設△ABO平移的距離為t，△A1B1O1與△B2C1D1重疊部分的面積為S．

(i) 當0＜t＜ 時，△A1B1O1與△B2C1D1重疊部分為四邊形．

由平移得，A1B1的解析式為y=2x+2﹣t，A1B1與x軸交點坐標為M（ ，0）．

C1B2的解析式為y= x+t+ ，C1B2與y軸交點坐標為N（0，t+ ）．

①如圖2，當C1D1在y軸右側時，即0＜t≤ 時，重疊部分是現四邊形ONQM，

設A1B1與x軸交于點M，C1B2與y軸交于點N，A1B1與C1B2交于點Q，連結OQ．

由 ，

∴ ，

∴Q（ ， ）．

∴S=S△QMO+S△QON

= × × + ×（t+ ）×

=﹣ t2+t+

=﹣ （t﹣ ）2+ ．

∵0＜t≤ ，

∴當t= 時，S的最大值為 ．

②如圖4，當C'D'在y軸左側，即： ＜t＜ 時，點C'在△A'MO內部，其重疊部分是四邊形C'QMD'，

同（Ⅰ）的方法得出：Q（ ， ）．

∴S=S△QMD'+S△QON

= ×[ ﹣（2t﹣1）]× + ×1×[ ﹣（2t﹣1）]

=﹣ t2+1

∵ ＜t＜ ，

∴S＜ ＜

（ii）如圖3所示，

當 ≤t＜ 時，△A1B1O1與△B2C1D1重疊部分為直角三角形．

設A1B1與x軸交于點H，A1B1與C1D1交于點G．

∴G（1﹣2t，4﹣5t），

∴D1H= +1﹣2t= ，D1G=4﹣5t．

∴S= D1H×D1G= × ×（4﹣5t）= （5t﹣4）2．

∴當 ≤t＜ 時，S的最大值為 ．

綜上所述，在此運動過程中△ABO與△BCD重疊部分面積的最大值為 ．

【解析】（1）由旋轉，平移得到C（1，1），用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先判斷出△BEF∽△BAO，再分兩種情況進行計算，由面積比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A1B1的解析式為y=2x+2﹣t，A1B1與x軸交點坐標為（ ，0）．C1B2的解析式為y= x+t+ ，C1B2與y軸交點坐標為（0，t+ ），再分兩種情況進行計算即可．