Question

【題目】把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段成為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數倍．

（1）不同分段得到的三條線段能組成多少個不全等的三角形？用直尺和圓規作這些三角形（用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求出（1）中所作三角形外接圓的周長．

Answer 1

【答案】(1)2；（2）作圖見解析.

【解析】試題分析：（1）用列舉法得出所有不同分法的分法，根據三角形三邊關系得出能組成不全等的三角形的個數，應用尺規作圖.

（2）由勾股定理逆定理知，3，4，5構成三角形是直角三角形，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊 一半的性質，知3，4，5構成三角形的外接圓直徑等于5，從而根據周長公式求解；對4，4，4構成三角形是等邊三角形，根據銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值求解即可.

試題解析：（1）∵把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段長為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數倍，

∴不同分法的分法有：1，4，7；2，4，6；3，4，5；4，4，4.

∴能組成2個不全等的三角形：3，4，5；4，4，4.

作圖如下：

（2）對于3，4，5構成的三角形，由勾股定理逆定理知，它是直角三角形，所以它的外接圓直徑等于5.

∴它的三角形外接圓的周長為.

對于4，4，4構成的三角形，如圖，知AH=2，∠OAH=30°，所以它的外接圓半徑等于.

∴它的三角形外接圓的周長為.