Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，垂足為E，AF平分∠BAC，交BE于F，點D在AC上，且AD＝AB．

（1）求證：DF＝BF；

（2）求證：∠ADF＝∠C．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由角平分線的性質可得出∠DAF=∠BAF，結合AD=AB、AF=AF，即可證出△ADF≌△ABF（SAS），可得結論．
（2）由△ADF≌△ABF可得出∠ADF=∠ABF，根據三角形內角和定理通過角的計算可得出∠ABF=∠C，進而可得出∠ADF=∠C．

（1）△ADF≌△ABF．

證明：∵AK平分∠CAB，交線段BE于點F，

∴∠DAF＝∠BAF．

在△ADF和△ABF中，

，

∴△ADF≌△ABF（SAS），

∴DF＝BF．

（2）證明：∵△ADF≌△ABF，

∴∠ADF＝∠ABF．

∵∠ABC＝90°，BE⊥AC于點E，

∴∠BAE+∠ABF＝∠BAC+∠C＝90°，

∴∠ABF＝∠C，

∴∠ADF＝∠C．