Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點A作直線DE，且滿足BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，當B，C在直線DE的同側時，

（1）求證：DE=BD+CE；

（2）如果上面條件不變，當B，C在直線DE的異側時，如圖2，問BD、DE、CE之間的數量關系如何？寫出結論并證明

（3）如果上面條件不變，當B，C在直線DE的異側時，如圖3，問BD、DE、CE之間的數量關系如何？寫出結論并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD=DE+CE，見解析；（3）DE=CE-BD，見解析.

【解析】

（1）由條件可以得出∠D=∠E=90°，∠CAE=∠ABD，就可以證明△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出結論；
（2）同理得△ADB≌△CEA，就可以得出BD=AE，AD=CE，由AE=AD+DE就可以得出BD=CE+DE；
（3）同理得△ABD≌△CAE（AAS），就可以得：AD=CE，BD=AE，由DE=AD-AE，可得結論．

（1）證明：如圖1，∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠D=∠E=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD．
在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）解：BD=DE+CE，
理由：如圖2，

∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∵∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC．
在△ADB和△CEA中，

∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+ED，
∴BD=DE+CE．
（3）解：DE=CE-BD，
理由是：如圖3，同理易證得：△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD．