Question

【題目】ABCD中，E是CD邊上一點，

（1）將△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到△ABF，如圖1所示．觀察可知：與DE相等的線段是　 　，∠AFB=∠　 　

（2）如圖2，正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD邊上的點，且∠PAQ=45°，試通過旋轉的方式說明：DQ+BP=PQ；

（3）在（2）題中，連接BD分別交AP、AQ于M、N，你還能用旋轉的思想說明BM2+DN2=MN2嗎？

Answer 1

【答案】（1）BF，AED；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：(1)、直接根據旋轉的性質得到DE=BF，∠AFB=∠AED；(2)、將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，根據旋轉的性質得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，則∠PAE=45°，再根據全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，則PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；

(3)、根據正方形的性質有∠ABD=∠ADB=45°，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，根據旋轉的性質得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK為直角三角形，根據勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代換即可得到BM2+DN2=MN2．

試題解析：(1)、∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到△ABF，

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

(2)、將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，

則∠D=∠ABE=90°， 即點E、B、P共線，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ；

(3)、∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°，

如圖，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，

則∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK為直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2， ∴BM2+DN2=MN2．