Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)，

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)此拋物線與直線y=﹣x在第二象限交于點(diǎn)D，平行于y軸的直線 與拋物線交于點(diǎn)M，與直線y=﹣x交于點(diǎn)N，連接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)，

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得到：

解得：

所以，該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4

（2）

解：存在．

∵由前面的計(jì)算可以得到，C（0，4），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1.5，

∴由拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴當(dāng)QC+QA最小時(shí)，△QAC的周長(zhǎng)就最小，

而當(dāng)點(diǎn)Q在直線BC上時(shí)QC+QA最小，

此時(shí)直線BC的解析式為y=x+4，

當(dāng)x=﹣1.5時(shí)，y=2.5，

∴在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周長(zhǎng)最小

（3）

解：由題意，M（m，﹣m2﹣3m+4），N（m，﹣m）

∴線段MN=﹣m2﹣3m+4﹣（﹣m）=﹣m2﹣2m+4=﹣（m+1）2+5

∵S四邊形BNCM=S△BMN+S△CMN=0.5MN×BO=2MN=﹣2（m+1）2+10

∴當(dāng)m=﹣1時(shí)（在 內(nèi)），四邊形BNCM的面積S最大．

【解析】（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣x2+bx+c確定解析式．（2）A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)Q．（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．