Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點C，D的坐標；
（2）若在y軸上存在點 M，連接MA，MB，使S△MAB=S平行四邊形ABDC ， 求出點M的坐標．
（3）若點P在直線BD上運動，連接PC，PO．
①若P在線段BD之間時（不與B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范圍；
②若P在直線BD上運動，請直接寫出∠CPO、∠DCP、∠BOP的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）解：∵AB=4，CO=2，

∴S平行四邊形ABOC=ABCO=4×2=8，

設M坐標為（0，m），

∴ ×4×|m|=8，解得m=±4

∴M點的坐標為（0，4）或（0，﹣4）；

（3）解：①S梯形OCDB= ×（3+4）×2=7，

當點P運動到點B時，S△BOC最小，S△BOC的最小值= ×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，

當點P運動到點D時，S△BOC最大，S△BOC的最大值= ×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，

所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；

②當點P在BD上，如圖1，作PE∥CD，

∵CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，

∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；

當點P在線段BD的延長線上時，如圖2，作PE∥CD，

∵CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，

∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，

∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；

同理可得當點P在線段DB的延長線上時，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．

【解析】（1）根據點的平移與坐標變換規律易得點C，D的坐標；
（2）先計算出S平行四邊形ABOC=8，設M坐標為（0，m），根據三角形面積公式得×4×|m|=8，解得m=±4，于是可得M點的坐標為（0，4）或（0，-4）；
（3）①先計算出S梯形OCDB=7，再討論：當點P運動到點B時，S△BOC的最小值=3，則可判斷S△CDP+S△BOP＜4，當點P運動到點D時，S△BOC的最大值=4，于是可判斷S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②分類討論：當點P在BD上，如圖1，作PE∥CD，根據平行線的性質得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；當點P在線段BD的延長線上時，如圖2，同樣有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，于是∠BOP-∠DCP=∠CPO；同理可得當點P在線段DB的延長線上時，∠DCP-∠BOP=∠CPO．
【考點精析】關于本題考查的三角形的面積，需要了解三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．