Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于點D，CD=BD，BE平分∠ABC，點H是BC邊的中點，連接DH，交BE于點G，連接CG．
（1）求證：△ADC≌△FDB；
（2）求證：CE= BF；
（3）判斷△ECG的形狀，并證明你的結論；
（4）猜想BG與CE的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，

∴BE⊥AC，CE=AE，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠DBF，

在△ADC和△FDB中，

，

∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）證明：∵△ADC≌△FDB，

∴AC=BF，

又∵CE=AE，

∴CE= BF；

（3）證明：△ECG為等腰直角三角形．

∵點H是BC邊的中點，

∴GH垂直平分BC，

∴GC=GB，

∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，

又∵BE⊥AC，

∴△ECG為等腰直角三角形；

（4）證明：GB= CE；

∵△ECG為等腰直角三角形，

∴GC= CE，

∵GC=GB，

∴GB= CE．

【解析】（1）首先根據AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，進一步得到∠ACD=∠DBF，結合CD=BD，即可證明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，結合CE=AE，即可證明出結論；（3）由點H是BC邊的中點，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，結合BE⊥AC，即可判斷出△ECG的形狀；（4）由△ECG為等腰直角三角形，得到GC= CE，因為GC=GB，即可得到GB= CE．