Question

【題目】如圖，為半圓的直徑，點為半圓上任一點．

（1）若，過點作半圓的切線交直線于點．求證：；

（2）若，過點作的平行線交半圓于點．當以點，，，為頂點的四邊形為菱形時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或．

【解析】

（1）由圓周角定理得到∠ACB=90°，先證△OＡC是等邊三角形，根據等邊三角形和外角的性質得到∠OAP=∠BOC=120°，根據切線的性質得到∠OCP=90°,進一步得到∠ACP=∠OCB，最后根據全等三角形的判定定理證明即可；

（2）根據菱形的性質得到OA=AD=CD=OC，連接OD，得到△AOD與△COD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AOD=∠COD=60°，求得∠BOC=60°，根據弧長公式即可得到結論

解： （1）如圖2∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=30°

∴AC=AB=OA=OB=OC

∴△OAC是等邊三角形

∴OC=AC，∠OAC=∠AOC=60°

∴∠CAP=∠BOC=120°

∴CP是⊙O的切線，

∴ OC⊥PC，

∴∠OCP=90°

∴∠ACP=∠OCB，

在△PBC與△AOC中，

∴(ASA)

(2)如圖1，連接OD,BD,CD

∵四邊形AOCD是菱形

∴OA=AD=CD=OC，OA=OD=OC

∴△AOD與△COD是等邊三角形，

∵.∠AOD=∠COD=60°，

∴∠BOC=60°，

∴

同理:如圖2可得:

故的長度為或．