Question

【題目】黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個比值，被稱為黃金分割數。我國著名數學家華羅庚普及并做出重要貢獻的優選法中有一種0.618法也應用了黃金分割數。

定義：點C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點C為線段AB的黃金分割點(如圖1).

如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．

(1)求證：點D是線段AC的黃金分割點；

（2）求出線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】試題分析：對于（1），根據題意推出圖中多組相等的角，于是有△BCD∽△ACB，利用相似三角形的性質得到對應邊成比例；

通過推理可得圖中多個角的度數，于是有BC=BD、BD=AD，進而得到BC=AD，利用黃金分割點的定義證得結論；

對于（2），根據黃金分割點的定義可知AD2=ACCD，把CD換為（AC﹣AD），再將已知AC=1代入該式求出AD的長度.

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。

∴AD=BD，BC=BD。

∴△ABC∽△BDC。

∴，即。

∴AD2=ACCD。

∴點D是線段AC的黃金分割點。

（2）由（1）AD2=ACCD，

即AD2=AC（AC﹣AD），AD2=1﹣AD，AD2+AD﹣1=0。

解得AD=（舍去負值）。

∴AD=。