Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A（a，0）點B（b，0）為x軸上兩點，點C在Y軸的正半軸上，且a，b滿足等式a2+2ab+b2=0．
（1）判斷△ABC的形狀并說明理由；
（2）如圖2，M，N是OC上的點，且∠CAM=∠MAN=∠NAB，延長BN交AC于P，連接PM，判斷PM與AN的位置關系，并證明你的結論．
（3）如圖3，若點D為線段BC上的動點（不與B，C重合），過點D作DE⊥AB于E，點G為線段DE上一點，且∠BGE=∠ACB，F為AD的中點，連接CF，FG．求證：CF⊥FG．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰三角形；（2）PM∥AN，證明見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由題意可得a=-b，即OA=OB，根據線段垂直平分線的性質可得AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（2）延長AN交BC于點E，連接PM，過點M作MH⊥AE，MD⊥BP，MG⊥AC，根據等腰三角形的性質可得∠NAB=∠NBA，∠ANO=∠BNO，可得∠PNC=∠CNE，根據角平分線的性質可得PM平分∠CPB，根據三角形的外角的性質可得∠CPM=∠CAN=2∠NAB，即可得PM∥AN；
（3）延長GF至點M，使FM=FG，連接CG，CM，AM，由題意可證△AMF≌△DGF，可得AM=DG，由角的數量關系可得∠BCO=∠BDG=∠DBG，即DG=BG，根據“SAS”可證△AMC≌△BGC，可得CM=CG，根據等腰三角形性質可得CF⊥FG．

解：（1）∵a2+2ab+b2=0，
∴（a+b）2=0，
∴a=-b，
∴OA=OB，且AB⊥OC，
∴OC是AB的垂直平分線，
∴AC=BC，
∴△ACB是等腰三角形