Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點，其中，．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求面積的最大值；

（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）設，求得解析式，過點P作x軸得垂線與直線AB交于點F，設點，則，，即可求解；

（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵拋物線過，

∴

∴

∴

（2）設，將點代入

∴

過點P作x軸得垂線與直線AB交于點F

設點，則

由鉛垂定理可得

∴面積最大值為

（3）（3）拋物線的表達式為：y＝x2＋4x1＝（x＋2）25，

則平移后的拋物線表達式為：y＝x25，

聯立上述兩式并解得：，故點C（1，4）；

設點D（2，m）、點E（s，t），而點B、C的坐標分別為（0，1）、（1，4）；

①當BC為菱形的邊時，

點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B，同樣D（E）向右平移1個單位向上平移3個單位得到E（D），

即2＋1＝s且m＋3＝t①或21＝s且m3＝t②，

當點D在E的下方時，則BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，

當點D在E的上方時，則BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，

聯立①③并解得：s＝1，t＝2或4（舍去4），故點E（1，2）；

聯立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點E（-3，-4＋）或（-3，-4）；

②當BC為菱形的的對角線時，

則由中點公式得：1＝s2且41＝m＋t⑤，

此時，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，

聯立⑤⑥并解得：s＝1，t＝3，

故點E（1，3），

綜上，點E的坐標為：（1，2）或或或（1，3）．

∴存在，