Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M為AB的中點．D是射線BC上一個動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接ED，N為ED的中點，連接AN，MN．

（1）如圖1，當BD=2時，AN等于多少？，NM與AB的位置關系是？
（2）當4＜BD＜8時，
①依題意補全圖2；
②判斷（1）中NM與AB的位置關系是否發生變化，并證明你的結論；
（3）連接ME，在點D運動的過程中，當BD的長為何值時，ME的長最小？最小值是多少？請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，
∴CD=2，
∴AD==2，
∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=2，
∵N為ED的中點，
∴AN=DE=，
∵M為AB的中點，
∴AM=AB=2，
∵，
∴，
∵∠CAB=∠DAN=45°，
∴∠CAD=∠MAN，
∴△ACD∽△AMN，
∴∠AMN=∠C=90°，
∴MN⊥AB，
故答案為：，垂直；
（2）①補全圖形如圖2所示，
②（1）中NM與AB的位置關系不發生變化，
理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠CAN+∠NAM=45°，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵N為ED的中點，
∴，AN⊥DE，
∴∠CAN+∠DAC=45°，
∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，
同理=，
∴=，
∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN，
∴△ANM∽△ADC，
∴∠AMN=∠ACD，
∵D在BC的延長線上，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，
∴∠AMN=90°，
∴MN⊥AB；
（3）連接ME，EB，過M作MG⊥EB于G，過A作AK⊥AB交BD的延長線于K，
則△AKB等腰直角三角形，
在△ADK與△ABE中，
，
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4，MB=2，
∴MG=2，
∵∠G=90°，
∴ME≥MG，
∴當ME=MG時，ME的值最小，
∴ME=BE=2，
∴DK=BE=2，
∵CK=BC=4，
∴CD=2，
∴BD=6，
∴BD的長為6時，ME的長最小，最小值是2．

【解析】（1）根據已知條件得到CD=2，根據勾股定理得到AD==2 ， 根據旋轉的性質得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2 ， 根據直角三角形的性質得到AN=DE= ， AM=AB=2 ， 推出△ACD∽△AMN，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（2）①根據題意補全圖形即可；②根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根據旋轉的性質得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性質得到∠AMN=∠ACD，即可得到結論；
（3）連接ME，EB，過M作MG⊥EB于G，過A作AK⊥AB交BD的延長線于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根據全等三角形的性質得到∠ABE=∠K=45°，證得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4 ， MB=2 ， 由ME≥MG，于是得到當ME=MG時，ME的值最小，根據等量代換即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．