Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數y＝x的圖象交點為C（m，4）．

（1）求一次函數y＝kx+b的解析式；

（2）求△BOC的面積；

（3）若點D在第二象限，△DAB為等腰直角三角形，則點D的坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）3；（3）（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．

【解析】

（1）把C點坐標代入正比例函數解析式可求得m，再把A、C坐標代入一次函數解析式可求得k、b，可求得答案；

（2）先求出點B的坐標，然后根據三角形的面積公式即可得到結論；

（3）由題意可分AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況，當AB為直角邊時，再分A為直角頂點和B為直角頂點兩種情況，此時分別設對應的D點為D2和D1，過點D1作D1E⊥y軸于點E，過點D2作D2F⊥x軸于點F，可證明△BED1≌△AOB（AAS），可求得D1的坐標，同理可求得D2的坐標，AD1與BD2的交點D3就是AB為斜邊時的直角頂點，據此即可得出D點的坐標．

（1）∵點C（m，4）在正比例函數y＝x的圖象上，

∴m＝4，

解得：m＝3，

∴C（3，4），

∵點C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函數y＝kx+b的圖象上，

∴，

解得，

∴一次函數的解析式為y＝x+2；

（2）在y＝x+2中，令x＝0，解得y＝2，

∴B（0，2），

∴S△BOC＝×2×3＝3；

（3）分AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況，

當AB為直角邊時，分A為直角頂點和B為直角頂點兩種情況，

如圖，過點D1作D1E⊥y軸于點E，過點D2作D2F⊥x軸于點F，

∵點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，

∴AB＝BD1，

∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠EBD1，

∵在△BED1和△AOB中，

，

∴△BED1≌△AOB（AAS），

∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，

∴OE=OB+BE=2+3=5，

∴點D1的坐標為（﹣2，5）；

同理可得出：△AFD2≌△AOB，

∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，

∴點D2的坐標為（﹣5，3），

當AB為斜邊時，如圖，

∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，

∴∠AD3B＝90°，

設AD1的解析式為y=k1x+b1，

將A（-3，0）、D1（-2，5）代入得，

解得：，

所以AD1的解析式為：y=5x+15，

設BD2的解析式為y=k2x+b2，

將B（0，2）、D2（-5，3）代入得，

解得：，

所以AD2的解析式為：y=x+2，

解方程組得：，

∴D3（，），

綜上可知點D的坐標為（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．

故答案為：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．