Question

（2013•益陽）閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點P的坐標為（x_p，y_p）．由x_p-x₁=x₂-x_p，得x_p=

x1+x2

2

，同理yp=

y1+y2

2

，所以AB的中點坐標為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．由勾股定理得AB²=

.

x2- x1

.

2+

.

y2- y1

.

2，所以A、B兩點間的距離公式為AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

．
注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．
解答下列問題：
如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．
（1）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；
（2）連結AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．

Answer 1

分析：（1）根據y=2x+2與拋物線y=2x²交于A、B兩點，直接聯立求出交點坐標，進而得出C點坐標即可；
（2）利用兩點間距離公式得出AB的長，進而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，利用A，C點坐標得出H點坐標，進而得出CG=AH，求出即可．

解答：（1）解：由

y=2x+2 y=2x2

，
解得：

x1= 1- 5 2 y1=3- 5

，

x2= 1+ 5 2 y2=3+ 5

．
則A，B兩點的坐標分別為：A（

1- 5

2

，3-

5

），B（

1+ 5

2

，3+

5

），
∵P是A，B的中點，由中點坐標公式得P點坐標為（

1- 5 2 + 1+ 5 2

2

，

3- 5 +3+ 5

2

），即（

1

2

，3），
又∵PC⊥x軸交拋物線于C點，將x=

1

2

代入y=2x²中得y=

1

2

，
∴C點坐標為（

1

2

，

1

2

）．

（2）證明：由兩點間距離公式得：
AB=

( 1- 5 2 - 1+ 5 2 )2+[(3- 5 )-(3+ 5 )2

=5，PC=|3-

1

2

|=

5

2

，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形．

（3）解：過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，
則H點的坐標為（

1

2

，3-

5

），
∴S_△PAC=

1

2

AP•CG=

1

2

PC•AH，
∴CG=AH=|

1- 5

2

-

1

2

|=

5

2

．
又直線l與l′之間的距離等于點C到l的距離CG，
∴直線l與l′之間的距離為

5

2

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及兩點之間距離公式和兩函數交點坐標求法等知識，根據數形結合得出H點坐標是解題關鍵．