Question

【題目】已知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點（不與點A、D重合），連接PB、PC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，AD與EF交于點M；

（1）如圖1，當AB＝AC時，求證：四邊形EGHF是矩形；

（2）如圖2，當點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形（不包括△BPE本身）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【解析】

（1）由三角形中位線定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=BC，GH∥BC，GH=BC，推出EF∥GH，EF=GH，證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出結論；

（2）由△APE與△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE與△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF與△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出S△PGH=S△AEF=S△APF，即可得出結果．

（1）證明：∵E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，

∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝BC，GH∥BC，GH＝BC，

∴EF∥GH，EF＝GH，

∴四邊形EGHF是平行四邊形，

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴EF⊥AP，

∵EG∥AP，

∴EF⊥EG，

∴平行四邊形EGHF是矩形；

（2）∵PE是△APB的中線，

∴△APE與△BPE的底AE＝BE，又等高，

∴S△APE＝S△BPE，

∵AP是△AEF的中線，

∴△APE與△APF的底EP＝FP，又等高，

∴S△APE＝S△APF，

∴S△APF＝S△BPE，

∵PF是△APC的中線，

∴△APF與△CPF的底AF＝CF，又等高，

∴S△APF＝S△CPF，

∴S△CPF＝S△BPE，

∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，

∴△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半，

∴△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，

∵GH＝EF，

∴S△PGH＝S△AEF＝S△APF，

綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH．