Question

如圖，經過原點的拋物線y=-x²+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A．過點P（1，m）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B．記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（B、C不重合）．連接CB，CP．
（1）當m=3時，求點A的坐標及BC的長；
（2）當m＞1時，連接CA，問m為何值時CA⊥CP？
（3）過點P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把m=3，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點的橫坐標，再求出拋物線的對稱軸方程，進而求出BC的長；
（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據相似的性質得到：，再用含有m的代數式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；
（3）存在，本題要分當m＞1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當0＜m＜1時，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標．
解答：解：（1）當m=3時，y=-x²+6x
令y=0得-x²+6x=0
∴x₁=0，x₂=6，
∴A（6，0）
當x=1時，y=5
∴B（1，5）
∵拋物線y=-x²+6x的對稱軸為直線x=3
又∵B，C關于對稱軸對稱
∴BC=4．

（2）連接AC，過點C作CH⊥x軸于點H（如圖1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，
∴，
∵拋物線y=-x²+2mx的對稱軸為直線x=m，其中m＞1，
又∵B，C關于對稱軸對稱，
∴BC=2（m-1），
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0），
∴AH=1，CH=2m-1，
∴，
∴m=．

（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
（I）當m＞1時，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，
（i）若點E在x軸上（如圖1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，
在△BPC和△MEP中，
，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m-1）=m，
∴m=2，此時點E的坐標是（2，0）；
（ii）若點E在y軸上（如圖2），
過點P作PN⊥y軸于點N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2，
此時點E的坐標是（0，4）；
（II）當0＜m＜1時，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，
（i）若點E在x軸上（如圖3），
易證△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1-m）=m，
∴m=，此時點E的坐標是（，0）；
（ii）若點E在y軸上（如圖4），
過點P作PN⊥y軸于點N，
易證△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1-m=1，∴m=0（舍去），
綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（2，0）或（0，4），
當m=時，點E的坐標是（，0）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質、相似三角形的判定和相似三角形的性質以及全等三角形的性質和全等三角形的判定、需注意的是（3）題在不確E點的情況下需要分類討論，以免漏解．題目的綜合性強，難度也很大，有利于提高學生的綜合解題能力，是一道不錯的題目．