Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發，沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動，同時，點Q從點B出發沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動．如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，回答下列問題：

（1）運動開始后第幾秒時，△PBQ的面積等于8cm2？

（2）當運動開始后秒時，試判斷△DPQ的形狀；

（3）在運動過程中，是否存在這樣的時刻，使以Q為圓心，PQ為半徑的圓正好經過點D？若存在，求出運動時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=2或4，即經過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2；

（2）△DPQ為直角三角形；

（3）運動開始后第6﹣18秒時，以Q為圓心，PQ為半徑的圓正好經過點D．

【解析】試題分析：（1）設出運動所求的時間，可將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；（2）表示出DP2=，PQ2=，DQ2=117，進而得到PQ2+DQ2=DP2，得出答案；（3）假設運動開始后第x秒時，滿足條件，則有QP=QD，表示出QP2，QD2，列出等式，整理得到方程，求出方程的解，根據時間大于0秒小于6秒，即可解答．

試題解析：（1）設經過t秒，△PBQ的面積等于8cm2，

則：BP=6﹣t，BQ=2t，

所以×（6﹣t）×2t=8，即t2﹣6t+8=0，

可得：t=2或4，即經過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2．

（2）當t=秒時，

AP=，BP=6﹣=，BQ=×2=3，CQ=12﹣3=9，

∴在Rt△DAP中，，

在Rt△DCQ中，DQ2=DC2+CQ2=62+92=117，

在Rt△QBP中，，

∴，

∴DQ2+QP2=DP2，

∴△DPQ為直角三角形；

（3）假設運動開始后第x秒時，滿足條件，則：QP=QD，

∵OP2=PB2+BQ2=（6﹣x）2+（2x）2，

QD2=QC2+CD2=（12﹣2x）2+62，

∴（12﹣2x）2+62=（6﹣x）2+（2x）2，

整理，得：x2+36x﹣144=0，

解得：x=﹣18±6，

∵0＜6﹣18＜6，

∴運動開始后第6﹣18秒時，以Q為圓心，PQ為半徑的圓正好經過點D．