Question

【題目】如圖，射線AM∥BN，點E，F，D在射線AM上，點C在射線BN上，且∠BCD＝∠A，BE平分∠ABF，BD平分∠FBC.

(1)求證：AB∥CD.

(2)如果平行移動CD，那么∠AFB與∠ADB的比值是否發生變化？若變化，找出變化規律；若不變，求出這兩個角的比值．

(3)如果∠A＝100°，那么在平行移動CD的過程中，是否存在某一時刻，使∠AEB＝∠BDC？若存在，求出此時∠AEB的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不變,理由見解析；（3）存在,60°

【解析】

（1）根據平行線的性質，以及等量代換證明∠A+∠ABC=180°，然后可證得AB∥CD；
（2）根據三角形外角的性質可直接得出結論；
（3）根據平行線的性質得到∠ABC=80°，設∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°，根據角平分線的性質得到∠EBD=40°，于是得到∠AEB=x°+40°．得到∠BDC=80°-x°，根據∠AFC=∠ADB，列方程即可得到結論．

（1）證明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；

（2）∵AM∥BN，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠FBC，∴∠FBD=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
當CD向右平移時，∠FBD增大，∠ABC不變，
∵∠FBD=∠FDB，∠BFA=∠FBD+∠FDB，∴∠AFB：∠ADB=2：1；
（3）存在，
理由：∵∠A=100°，∴∠ABC=80°，
設∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°，
∵BE平分∠ABF，BD平分∠FBC，
∴∠EBD=40°
∴∠AEB=x°+40°．
∵AM∥BN，∠BCD=100°，
∴∠CDA=80°，
∴∠BDC=80°-x°，
∵∠AEB=∠BDC，
∴x°+40°=80°-x°，解得x=20°，
∴∠AEB=20°+40°=60°．