Question

衢州新興公司經營甲、乙兩種商品．已知每件甲種商品的進價為12萬元，售價為14.5萬元；每件乙種商品的進價為8萬元，售進為10萬元，且它們的進價和售價始終保持不變．現在公司經理正在吩咐小王按要求進貨，

請根據圖所提供的信息，解答下列問題：

（1）該公司有哪幾種進貨方案？
（2）設公司在這次采購中共購進甲種貨物x件，甲、乙兩種商品全部售出后獲得的利潤為w萬元，試寫出w關于x的函數關系式，并求出w的最大值．
（3）若公司用（2）中所求得的最大利潤再次進貨并全部售出，請寫出獲得最大利潤的進貨方案，并求出兩次買賣中公司所獲的最大總利潤．

Answer 1

解：（1）設購進甲種商品x件，乙種商品（20-x）件，根據題意得
190≤12x+8（20-x）≤200，
解得7.5≤x≤10．
∵x為非負整數，
∴x取8，9，10．
有三種進貨方案：
①購甲種商品8件，乙種商品12件；
②購甲種商品9件，乙種商品11件；
③購甲種商品10件，乙種商品10件．

（2）利潤w=x×（14.5-12）+（20-x）×（10-8）=0.5x+40，
∵當x越大w越大，
∴購甲種商品10件，乙種商品10件時，可獲得最大利潤，
最大利潤是45萬元；

（3）①全進甲，能購買3件，利潤為（14.5-12）×3=7.5萬元；
②全進乙，能購買5件，利潤為（10-8）×5=10萬元；
③甲進1件，同時乙進4件，利潤為（14.5-12）×1+（10-8）×4=10.5萬；
④甲進2件，同時乙進2件，利潤為2.5×2+2×2=9萬元；
⑤甲進3件，同時乙進1件，利潤為2.5×3+2×1=9.5萬元；
所以購甲種商品1件，乙種商品4件時，可獲得最大利潤為10.5萬元．
分析：（1）關系式為：190≤甲種商品總進價+乙種商品總進價≤200，根據此不等關系列不等式組求解即可；
（2）利潤=甲種商品數量×（14.5-12）+乙種商品數量×（10-8），整理后按（1）中自變量的取值算出最大利潤；
（3）用最大利潤45萬元來進貨，用最大利潤進貨，沒有總件數限制，但要考慮盡量把錢用完．分以下五種情況討論，通過計算比較即可．①全進甲，能購買3件；②全進乙，能購買5件；③甲進1件，同時乙進4件；④甲進2件，同時乙進2件；⑤甲進3件，同時乙進1件．
點評：此題主要考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式，及所求量的等量關系．要會用分類的思想來討論問題并能用不等式的特殊值來求得方案的問題．